de mon expérience, un problème de démarrage a déjà été du à :

une batterie qui fatigue

la pompe à essence (qui ne distribue donc pas ou mal l'essence dans le moteur)

les bougies (si la voiture manque de puissance quand elle roule)

ca vaut le coup de comparer si elle démarre mieux à chaud

de faire vérifier la batterie ou directement la changer si elle est vieille

de pomper a la main la pompe à essence avant d'essayer de démarrer

de changer les bougies si elles sont vieilles (2euros pièces et très facile à changer avec une clé a bougies!)

ou de la passer à la balise et voir ce qui sort tout simplement !